Grupo abeliano

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

Un grupo abeliano é unha estrutura alxébrica determinada sobre un conxunto G que ten estrutura de grupo e no que a operación interna é conmutativa.

Os grupos abelianos reciben o seu nome en honra ao matemático noruegués Niels Henrik Abel, que os empregou no seu estudo das ecuacións alxébricas resolubles con radicais.[1] Os grupos que non son conmutativos denomínanse “non abelianos” ou “non conmutativos”.

Definición[editar | editar a fonte]

Dada unha estrutura alxébrica sobre un conxunto G e cunha operación interna binaria "", dise que a estrutura é un grupo abeliano con respecto á operación se:

  1. ten a estrutura alxébrica de grupo.
  2. ten a propiedade conmutativa.

Exemplos[editar | editar a fonte]

  • Todo grupo cíclico G é abeliano, pois se x, yG = <a>, x = am y y = an para algúns m, n enteiros, co que xy = aman = am + n = an + m = anam = yx. En particular, o grupo Z de enteiros coa suma é abeliano, ao igual que o grupo de enteiros módulo n, Zn.
  • Os números reais forman un grupo abeliano coa adición, ao igual que os reais non nulos coa multiplicación.
  • Todo anel é un grupo abeliano con respecto á súa suma. Nun anel conmutativo, os elementos invertibles forman un grupo abeliano coa multiplicación.
  • Todo subgrupo dun grupo abeliano é normal, e polo tanto, para todo subgrupo hai un grupo cociente. Subgrupos, grupos cocientes e sumas directas de grupos abelianos son tamén abelianos.

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • Se n é un número natural e x un elemento dun grupo abeliano G, pódese definir nx = x + x +... + x (n sumandos), e (−n)x = −(nx), co que G se converte nun módulo sobre o anel Z dos enteiros. De feito, os módulos sobre Z non son outros cós grupos abelianos.
  • Se f, g: GH son dous homomorfismos entre grupos abelianos, a súa suma (definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) tamén é un homomorfismo; isto non se cumpre en xeral para os grupos non abelianos. Con esta operación, o conxunto de homomorfismos entre G e H vólvese, entón, un grupo abeliano en si mesmo.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Encyclopedia of Mathematics. "Abelian group" (en inglés). Consultado o 12 de xullo de 2014. 
Traído desde "https://gl.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_abeliano&oldid=4117734"